在《我的宇宙》里估算欧拉数 e开yun体育网，过错仅约 0.00766%！
两位数学博士"跨界"整了个大大大活儿——
用《我的宇宙》搞数学讨论，通过游戏机制告捷估算千般数学常数的值。
√ 2、π、欧拉数 e、阿佩里常数 ζ ( 3 ) ，难度逐级递加，但齐是他们的本质对象。
关于阿佩里常数 ζ ( 3 ) ，用这两位作家的话说，一般东说念主可能见齐没见过，但也能用《我的宇宙》类似算出值来，而且过错仅约为 0.4%。
本质消失游戏机制用到了千般神志，比如类似 π 值时，使用了蒙特卡洛积分法，借助游戏中的僵尸疣猪兽杀死史莱姆来完成。
两位作家分裂是来自自霍林斯大学、好意思国罗诺克大学的助理扶直。
论文中，他们不仅先容了每个常数的数学历史布景，详备透露了如安在《我的宇宙》中盘算本质来类似计较这些值，致使还冷落了具体的纠正建议，为大伙儿留住了"课后功课"来挑战。
作家强调这些本质的指标不是为了赢得最精准的类似值，而是为了引发公共从这项讨论中找到灵感，用真理的样式探讨复杂的数常识题。
但愿本文能够展示一小部分数学与《我的宇宙》消失的可能性，并激励东说念主们以真理和别有洞天的样式探索复杂的数学主题。天然咱们承袭使用《我的宇宙》来类似谬妄数，但咱们降服还有好多其它环境妥当进行此类本质。
是以，究竟是如何作念到的？
在估算数学常数前，先来淡淡了解一下《我的宇宙》中将被用作"本质说念具"的材料。
漏斗（Hopper）：
若是一个玩家 / 动物 / 怪物站在漏斗上方被杀死，那么漏斗会采集该生物掉落的物品。因此，漏斗不错用来记载生物被杀死的位置。
除采集物品外，漏斗还具有另一个特点，它们不错以每秒 2.5 个物品的恒定速率开释物品。漏斗开释物品的智力不错开启或关闭。
由于漏斗以恒定速率开释物品，它们不错用作计时器。举例，若是一个漏斗开释了 25 个物品，那么咱们知说念漏斗开释物品的时刻在 10 秒到 10.4 秒之间。
天然《我的宇宙》中有制作更精准计时器的神志，但关于该本质来说，漏斗计时器够用。
投掷器（dropper）：
投掷器是一个不错投掷物品的方块，可同期容纳 9 种不同物品。
当被激活时，投掷器会立地承袭其中的一个物品进行投掷。因此，投掷器不错用作立地化器具。举例，若是投掷器中有 5 种不同的物品，那么特定物品被投掷出去的概率是 1/5。
侦测器（observer）：
侦测器是一个方块更新检测器，不错检测到它靠近的方块状况是否发生变化。
一个方块可能发生的变化包括作物滋长、冰溶解、火势彭胀……这些变化是立地发生的，因此不错通过侦测器检测这些变化来创建一个立地化器具。
接下来就不错玩"数学游戏"啦～
PS：题目难度由简入难
√ 2
早在 2000 多年前，毕达哥拉斯门户用反证法透露注解了√ 2 不成写稿两整数之比，√ 2 也成为了东说念主们发现的第一个谬妄数。
刻下，√ 2 亦然该讨论第一个要用《我的宇宙》估算的数学常数。
神志运用了45 ° -45 ° -90 ° 直角三角形的边长比是 1 : 1 : √ 2。
这样的三角形在《我的宇宙》中很容易制作，因为《我的宇宙》中，摈弃任何方块齐必须放在网格上。
要类似计较√ 2 的值，不错绵薄地分裂测量玩家以恒定速率沿着一条直角边和斜边行走所需的时刻，斜边长度是直角边的√ 2 倍，行行运刻比率也应该类似为√ 2。
如前所述，漏斗以恒定速率开释物品，不错计较玩家行走手艺所开释的物品数目，以此来计时。
本质中，沿着斜边行走完，漏斗开释了 57 个物品，沿着一条直角边行走完，漏斗开释了 41 个物品。
是以得出：
√ 2 保留到一丝点后四位是√ 2=1.4142，是以类似值过错为 1.70%。
作家还示意这种神志还不错纠正：
一个很显豁的纠正神志是构建一个更大的三角形，类似值将更准确。或者不错让行走速率变慢，玩家不错在登程前喝下渐渐药水。
依此类推不错估算√ 5 的值，但√ 7 不行，7 不成示意为两个澈底闲居数的和。
这引出了一个问题：哪些数字不错示意为两个闲居数的和？
作家觉得关于几何学敦朴来说，不错使用这样的本质向几何学生先容基本的数论。
下一个要估算的数学常数是——
1768 年约翰 · 海因里希 · 朗伯（Johann Heinrich Lambert）透露注解 π 是谬妄数。1882 年费迪南德 · 冯 · 林德曼（Carl Louis Ferdinand von Lindemann）初次透露注解 π 是越过数。
希腊数学家阿基米德通过在圆表里构建正多边形，为 π 的值找到了高下界。当使用 96 边形时，阿基米德发现 3.1408
计较机的发展带来了计较 π 值的不同神志。蒙特卡洛神志即是其中一类，通过评估屡次立地历练的效果来类似值。
蒙特卡洛神志中的一种，蒙特卡洛积分，通过绘图一个内切于正方形的单元圆，然后在正方形内均匀立地地散布点。
由于圆的面积是 π，正方形的面积是 4，圆内点的数目与总点数的比将大致等于 π/4。
《我的宇宙》中相通不错重现蒙特卡洛积分法，类似计较 π 值。
《我的宇宙》中的每个方块齐摈弃在网格上，是以无法制作一个完好意思的圆形。然则，网上有好多器具不错在《我的宇宙》中类似规定一个圆的范围。
作家使用了一个《我的宇宙》圆形生成器，作念了一个半径为 11 的类似圆形：
接下来的问题是找一种在《我的宇宙》中生确立方位的神志。
为此，作家运用了一种叫作念"史莱姆"的生物的步履。使用史莱姆是因为与其他生物不同，当隔邻莫得玩家时史莱姆会陆续迁移，何况它们会立地改动主义。
而大大齐其他生物有向东南边向行走的倾向，是以它们积聚拢在正方形的东南角。
接着述者们让另一种生物——僵尸疣猪兽（zoglin），杀死史莱姆，使用漏斗追踪史莱姆是否在圆内被杀死。
在本质中，共有 619 个史莱姆被杀死，其中 508 个是在圆内被杀死的。
是以得到了类似值：
类似过错为 4.49%。
因为蒙特卡洛神志常常管制较慢，是以作家示意对这个相对较大的过错并不诧异。
若是童鞋们我方念念尝试的话，纠正神志：增大圆的大小和加多被杀死的史莱姆数目。
在这种蒙特卡洛神志中，圆的大小常常不会影响类似值的准确性，但由于在《我的宇宙》中无法制作完好意思的圆形，增大圆的大小将进步类似值的准确性。
相通，用来类似计较 π 值的神志，也不错用来类似计较其它定积分的值。
举例，假定你念念使用《我的宇宙》进行蒙特卡洛积分以类似计较积分：
通过作家创建的 Desmos 页面的匡助，不错绘图出 y=f ( x ) 弧线与 x 轴之间的区域。
回念念一下，定积分∫ₐᵇ f ( x ) dx 的值是由弧线 y=f ( x ) 与 x 轴在 x=a 到 x=b 之间围成的区域的净面积。
因此，在《我的宇宙》中类似计较定积分的一个神志是，最初找出在 x 轴上方区域和 x 轴下方区域赔本的史莱姆数目之间的各别。
将这个各别乘以总面积再除以赔本的史莱姆总和，就不错得到定积分值的类似值。在《我的宇宙》中，不错用底下这个函数类似弧线 y=f ( x ) ：
这里⌊ x ⌉将 x 四舍五入到最近的整数。
作家们示意这可能是一个真理的本质，适用于正在学习积分微积分的学生。
欧拉数 e
接下来陆续上难度——欧拉数 e，欧拉数 e 的值保留到一丝点后五位是e=2.71828。
公共可能谨记 e 是天然对数的底数，亦然复合利息公式的一部分。它被界说为以下极限：
天然以 e 为底的对数计较早在 1618 年就依然开动，但那时并莫得使用 e 这个绚烂。
所谓的 e "发现"最早是由雅各布 · 伯努利（Jacob Bernoulli）在1638 年讨论一语气复利时无意发得出的，他尝试计较上述极限，运用二项式定理透露注解了 e 的值在 2 和 3 之间，但其时 e 还莫得一个具体的名字或更精准的类似值。
欧拉（Euler）最终将对数与 e 这个数关系起来，他计较了上述极限，并用绚烂 e 示意其值，1737 年透露注解了 e 是谬妄数。到了 1873 年，查尔斯 · 埃尔米特（Charles Hermite）进一步透露注解了 e 是越过数。
话说回归，在《我的宇宙》中类似 e 的值，要了解欧拉 1748 年冷落的 e 的抒发式：
刻下沟通函数f ( x ) =e ᕽ，这个函数不错用它的麦克劳林级数示意为：
注重，当 x= − 1 时，得到到 1/e 的交错级数张开式：
咱们将看到，这个抒发式的第 n 个部分和是一个特定计数问题的解。
刻下边幅这个问题，令：
界说： [ n ] 的成列是 [ n ] 中元素的一个详情法规的成列。
[ n ] 的成列不错看作数字 1 到 n 的线性排序。举例， [ 3 ] 的成列包括 123、132、213、231、312 和 321。 [ n ] 的成列总和是：
这个乘积传统上用 n! 示意。
界说：一个错位成列是莫得固定点的 [ n ] 的成列。
换句话说，若是 ω 是 [ n ] 的一个成列，那么那么当且仅当
ω 是一个错位成列。
举例，沟通 [ 6 ] 的以下成列：ω =324165。这不是一个错位成列，因为数字 2 在第二个位置，即 ω ₂ =2。
然则，成列 ν =431562 是一个错位成列，因为：
咱们用 D ( n ) 示意 [ n ] 的错位成列数，不错透露注解：
相比等式（2）和（3），不错看到
给出了等式（2）的第 n 个部分和。
因此，不错看到 1/e 类似等于立地成列是错位成列的概率。荒谬地：
了解了这些事后，在《我的宇宙》中如何类似计较？
两位作家制造了一台机器，这台机器能：
生成一个成列；
查验该成列是否为错排。
一朝机器被制造出来，就让它运行屡次，生成宽裕大的样本。
如前所述，投掷器不错用作立地器。由于投掷器最多不错容纳 9 种不同的物品，是以不错运用其立地弹出机制来创建 [ 9 ] 的成列。
投掷器中的每个格子对应 [ 9 ] 中的一个数字。弹出的物品的法规不错被视为一个成列。而且在《我的宇宙》中是有神志不错自动查验投掷器弹出了哪个物品。
具体如何操作这里就未几赘述了。
因此，不错制造一台机器来查验所生成的成列是否为错排。这是通过查验与某个数字对应的格子是否在阿谁位置被弹出来已毕的。
若是 9 个格子中的每一个齐被弹出到了与它们编号分歧应的位置，那么这个成列即是一个错排。
作家在本质生成的成列中，错排比例大致是 1/e。也即是说：
共生成了 647 个成列，其中 238 个是错排。是以 e 的类似值：
类似过错大致是 0.00766%，准确度特地高了。
作家示意若是让机器无穷运行，1/e 的类似过错将小于：
两位作家相通再次饱读舞公共我方尝试一下，省略还能搞个新界说：
若是一个成列 ω 的要求瓜代高涨和着落，那么称这个成列为交错成列，即 ω 1ω 3
这意味着你不错使用《我的宇宙》来类似计较sec ( 1 ) +tan ( 1 ) 的值。
打发完"课后功课"，两位助理扶直还有意留住这样一句话：
若是你完成了这个本质，请关系作家并告诉咱们你的效果。
还没完，还有一个数学常数，而且可能是你畴昔未始见过的。
用作家的话说，即使你碰到过它，可能也不知说念它有一个名字——
阿佩里常数 ζ ( 3 )
ζ ( 3 ) ，被界说为正立方数倒数的和，即：
之是以被记为ζ ( 3 ) ，是因为它是在 s=3 时黎曼 ζ 函数（Riemann zeta function）的值。
一般来说，黎曼 ζ 函数界说为：
欧拉透露注解了黎曼 ζ 函数的以下乘积公式：
阿佩里常数的值保留到一丝点后五位是 ζ ( 3 ) = 1.20205。
1979 年，罗杰 · 阿佩里（Roger Ap é ry）透露注解了 ζ ( 3 ) 是谬妄数。这个数字是否是越过数刻下仍然是一个未惩处的问题。
阿佩里常数有千般级数和积分的示意神志。其中一些示意神志特地复杂。
然则，作家示意阿佩里常数的值不错通过概率神志详情，阿佩里常数的倒数是立地中式的纵情三个正整数互质的概率。
为什么：
要使三个正整数互质，就不成有任何质数同期整除这三个数。举例，6、9、21 不是互质的，因为它们齐不错被 3 整除。关于一个质数 p，p 整除一个立地整数的概率是 1/p。因此，p 同期整除这三个数字的概率是 1/p ³。
这意味着至少有一个数字不被 p 整除的概率是：
让 P ₃示意三个立地采选的正整数互质的概率，由此得出：
相比等式（4）和（5），不错看出：
OK，那在《我的宇宙》中如何类似计较阿佩里常数。
作家们反复生成了三个立地数的聚集，称为三元组，并手动查验这些数字是否互质。互质的三元组的比例将大致等于 ζ ( 3 ) 的倒数。
如前文所述，《我的宇宙》中侦测器能够检测到它靠近的方块状况的变化。
而《我的宇宙》中好多方块会在立地隔断改动状况。常常，每 0.05 秒，游戏立地承袭一个 16 × 16 × 16 的立方体中的 3 个方块来改动状况。若是采选的方块有改动状况的智力，它们将以一定的预定概率改动状况。
为了生成一个立地数三元组，作家安排了三个侦测器，每个侦测器靠近我方的竹子植物，还使用了一个漏斗计时器来记载每个竹子植物改动状况所需的时刻。
belike：
需要注重的是，生成的立地数并不降服均匀分散，而是降服负二项分散。
在本质中，作家采集了 70 个立地数三元组，发现 58 个三元组是互质的。
于是得到 ζ ( 3 ) 的类似值：
类似过错约为 0.4%。
作家补充说念，这种神志生成的数字鸿沟在最小 3 和最大 838 之间，在获取世俗千般的数字方面比预期作念得更好。
最自后看"课后功课"。
回念念一下，三个立地中式的正整数互质的概率是 ζ ( 3 ) ⁻ ¹。
一般来说，Pm，即立地均匀承袭的 m 个正整数互质的概率，是 ζ ( m ) ⁻ ¹。
这意味着你不错使用上述神志来类似千般 m 值的 ζ ( m ) 。荒谬是，你不错类似 π 的任何偶数次幂的值，因为 ζ ( 2k ) 老是 π 的 2k 次方的有理倍数。
举例，由于 ζ ( 2 ) = π² /6，因此：
这意味着不错通过生成一双数字并查验它们是否互质来类似 π² 的值。
关于那些寻求挑战的东说念主，还可尝试通过在《我的宇宙》中制造一个机器来自动化查验经过，该机器不错找到两个正整数的最大条约数。若是最大条约数是 1，那么这些数字即是互质的。
作家示意：
制造这台机器可能会很长途，但并非不可能在《我的宇宙》中完成。
好嘛，有哪位一又友挑战一下下～
论文集结：https://arxiv.org/abs/2411.18464开yun体育网